高中数学 必修四 1.2.1任意角的三角函数(一)课件 新人教A版必修4

发布于:2021-09-17 01:51:02

第一章 三角函数
1.2 任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数(一)

1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义.(重点、难点) 2.掌握三角函数在各象限的符号.(重点) 3.掌握诱导公式一并会应用.(重点)

1.任意角的三角函数的定义 (1)图示:在单位圆中, α是任意一个角,它的终边与单位 圆交于点P(x,y).

y (2)结论:sin α=_y__,cos α=__x_,tan α =_x__.
(3)概念:正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆 上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为 _三__角__函__数___.

2.三角函数值的符号 (1)图示:
(2)结论:正弦___一__、__二____正,__三__、__四__负; 余弦__一__、__四___正,___二__、__三___负; 正切_一__、__三___正,__二__、__四____负.

3.终边相同的角的同一三角函数的值 (1)结论: 终边相同的角的同一三角函数的值__相__等__. (2)公式一:sin(α+k·2π)=____si_n_α_. cos(α+k·2π)=___c_o_s_α_. tan(α+k·2π)=_____ta_n__α_.其中k∈Z.

想一想
(1)yr,xr,yx的大小与点 P 在角的终边上的位置有关吗? 提示:无关.只与角的大小有关. (2)同一个三角函数值能找到无数个角与之对应吗? 提示:能. 由终边相同的角的同一三角函数的值相等可 得.

1.解读三角函数的定义 (1)三角函数是一种函数,它满足函数的定义,可以看成是 从角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应. (2)三角函数是用比值来定义的,所以三角函数的定义域是 使比值有意义的角的范围. (3)三角函数是比值,是一个实数,这个实数的大小与点 P(x,y)在终边上的位置无关,只由角α的终边位置决定,即三 角函数值的大小只与角有关.

2.三角函数在各象限内值的符号 由三角函数的定义以及各象限内的点的坐标的符号去确定 三角函数的符号,可简记为“一全正,二正弦,三正切,四余 弦”. 3.对公式一的理解 (1)公式一的实质:是说终边相同的角的三角函数值相等, 即角α的终边每绕原点旋转一周,函数值将重复出现一次,体 现了三角函数特有的“周而复始”的变化规律.

(2)公式一的结构特征: ①左、右为同一三角函数; ②公式左边的角为α+k·2π,右边的角为α.

任意角三角函数的定义
已知角 α 的终边在直线 y= 3x 上,求 α 的三角函数值. 思路点拨: 取点 ―→ 求正切 ―αα―><→00 求正弦、余弦 解:设 P(a, 3a)(a≠0)是其终边上任一点, 则 tan α= a3a= 3,r= a2+? 3a?2=2|a|, 当 a>0 时,sin α= 23aa= 23,cos α=2aa=12;

当 a<0 时,sin α=-32aa=- 23,cos α=-a2a=-12. 所以 tan α= 3,sin α= 23,cos α=12; 或 tan α= 3,sin α=- 23,cos α=-12.

利用三角函数的定义求值的策略 (1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时,常用的解 题方法有以下两种: ①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后利用三 角函数的定义求出相应的三角函数值.

②注意到角的终边为射线,所以应分两种情况来处理,取

射线上任一点坐标(a,b),则对应角的正弦值 sin α=

b a2+b2



余弦值 cos α=

a a2+b2.

(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时,要根据

问题的实际情况对参数进行分类讨论.

1.已知θ的终边经过点P(a,a)(a≠0),求sin θ、cos θ、tan

θ.
解:(1)当 a>0 时,r= a2+a2= 2a,

得 sin θ=

a= 2a

22,cos

θ=

a= 2a

22,tan

θ=aa=1;

(2)当 a<0 时,r= a2+a2=- 2a,



sin

θ=-

a

=- 2a

22,cos

θ=-

a

=- 2a

22,

tan θ=aa=1.

三角函数值符号的判断

(1)α是第四象限角,则下列数值中一定是正值的是

()

A.sin α

B.cos α

C.tan α

D.cos α或tan α

(2) 若 sin θ·tan θ > 0 , cos θ·tan θ < 0 , 则 sin θ·cos θ________0(填“>”、“<”或“=”).

思路点拨:(1) 角所在象限 ―→ 判断符号
(2) 符号 ―→ 判断角所在象限 ―→ 判断符号
解析:(1)α是第四象限角,则cos α为正. (2)由sin θ·tan θ>0,知sin θ与tan θ同号, θ是第一或第四 象限角.又cos θ·tan θ<0,得θ是第三或第四象限角.∴θ只能 是第四象限的角.∴sin θ<0,cos θ>0.∴sin θ·cos θ<0. 答案:(1)B (2)<

确定三角函数值在各象限内符号的方法 (1)三角函数值的符号是根据三角函数的定义,由各象限内 的点的坐标的符号得出的. (2)对正弦、余弦、正切函数的符号可用下列口诀记忆: “一全正,二正弦,三正切,四余弦”,该口诀表示:第一象 限全是正值,第二象限正弦值是正值,第三象限正切值是正 值,第四象限余弦值是正值.

【互动探究】 对于题(2),若改为“sin θ·tan θ<0,cos θ·tan θ>0”,则 sin θ·cos θ的符号又如何判断呢? 解析:∵sin θ·tan θ<0,∴θ是第二或第三象限角.又cos θ·tan θ>0,∴θ是第一或第二象限角.∴θ只能是第二象限的 角.∴sin θ>0,cos θ<0.∴sin θ·cos θ<0. 答案:<

诱导公式一的应用
求值:(1)tan 405°-sin 450°+cos 750°;

(2)sin

73πcos???-236π???+tan???-154π???cos

13π 3.

思路点拨:将角转化为 k·360°+α 或 2kπ+α 的形式,利用

公式一求值,注意特殊角的三角函数值.

解:(1)原式=tan(360°+45°)-sin(360°+90°)+cos(2×360°

+30°)

=tan

45°-sin

90°+cos

30°=1-1+

23=

3 2.

(2)原式=sin???2π+π3???cos???-4π+π6???+ tan???-4π+π4???cos???4π+π3???

=sin

π 3cos

π6+tan

π 4cos

π3=

23× 23+1×12=54.

诱导公式一的应用策略 (1)诱导公式一可以统一写成f(k·360°+α)=f(α)或f(k·2π +α)=f(α)(k∈Z)的形式,它的实质是终边相同的角的同一三角 函数值相等. (2)利用它可把任意角的三角函数值转化为0~2π角的三角 函数值,即可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数,亦 可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数,即把角 实现大化小,负化正的转化.

2.sin 265π的值为( )

A.12

B.

3 2

C.-

3 2

D.-12

解析:sin 256π=sin???4π+π6???=sin π6=12. 答案:A

易错误区系列(三) 三角函数定义理解中的误区

已知角α的终边过点P(-3m,m)(m≠0),则sin α= ________.
解析:由题意可得,

|OP|= ?-3m?2+m2= 10|m|. 当 m>0 时,|OP|= 10|m|= 10m,

则 sin α=

m= 10m

10 10 .

当 m<0 时,

|OP|= 10|m|=- 10m,



sin

α=-

m =- 10m

1100.

答案:

1100或-

10 10

错解

错因

1100或 误认为只有 m>0 的情况而得到 1100,或对 正弦与余弦函数定义中比的顺序颠倒而得

-3

10 10

sin α=-130mm=-31010

【纠错提升】1.准确理解定义 要从定义的内涵和外延准确把握定义,同时对三角函数的 定义的形式要准确记忆,如本题中的 sin α=yr和 cos α=xr不能混 淆. 2.分类讨论的意识 在化简过程中,对字母参数要注意分类讨论,做到不重不 漏.如本题中对字母参数 m 的讨论.

【即时演练】 角α的终边过点 P(-3a,4a),a≠0,则cos α=______.
解析:由题意可得|OP|= ?-3a?2+?4a?2=5|a|,且 a≠0. 当 a>0 时,|OP|=5a,则 cos α=-53aa=-35. 当 a<0 时,|OP|=-5a,则 cos α=- -35aa=35. 答案:-35或35


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